Научные исследования


     Основные направления научных исследований кафедры: методы математического моделирования в геофизике, математическое моделирование переменных электромагнитных полей в трехмерных средах на основе методов декомпозиции, методы решения обратных задач теории фильтрации, статистический анализ систем геофизического и экологического мониторинга, численные методы и теория приближений, вейвлет-анализ.
     Профессором М.Н.Юдиным более 30 лет ведутся исследования в области численного моделирования переменных электромагнитных полей. В его работах развиты гибридные алгоритмы декомпозиционного типа, обобщающие альтернирующий метод Шварца для численного решения прямых двумерных и трехмерных задач электромагнитных зондирований. Построены вариационные функционалы применительно к геоэлектрическим моделям, содержащим проводящие пленки как для гармонически изменяющихся, так и нестационарных полей. Получены эффективные вычислительные схемы по методу конечных элементов, учитывающие характер распространения электромагнитного поля по соответствующим координатным осям. Разработанное Юдиным М.Н. и его сотрудниками программное обеспечение нашло широкое распространение как в нашей стране (19 научных и производственных организаций), так и за ее пределами (Венгрия, Болгария).
     Совокупность методов, основанных на использовании интегральных и дискретных преобразований Фурье и их обобщений, а также вейвлет-преобразований и их аналогов, получила название «компьютерный гармонический анализ» (СНА). Для целей фильтрации, наряду с СНА, находит все более широкое применение второе направление, основанное на использовании нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (PDE) и минимизации связанных с ними функционалов. Фильтрация зашумленных данных на основе PDE значительно превосходят CHA-методы, когда требуется восстановить границы полезного сигнала, на которых он имеет большие градиенты. Под руководством М.Н.Юдина на кафедре математики разработан комплекс программ для ввода экспериментальных данных и их визуализации, обеспечивающий графическое представление всех этапов многомасштабного СНА- и PDE-анализа в режиме интерактивного графического диалога.
     Профессором А.А.Любушиным создана методика анализа данных систем мониторинга, базирующаяся на фундаментальной идее поиска сигналов коллективного поведения измеряемых процессов. Введены такие понятия как сигнал синхронизации, агрегированный сигнал многомерного временного ряда, медленное событие, имеющие фундаментальное значение для решения целого комплекса геофизических задач, включая поиск качественно новых предвестников сильных землетрясений. Создан и внедрен в практику пакет программ для анализа данных геофизического мониторинга с целью выделения тонких эффектов увеличения коллективного поведения различных геофизических полей. В цикле работ по статистическому анализу связей между вариациями атмосферного давления и различными геофизическими полями сформулирован один из признаков, позволяющих судить об уменьшении прочностных свойств верхних слоев земной коры по эволюции амплитудно-частотной передаточной функции от вариаций атмосферного давления к изменению уровня подземных вод, что является одним из предвестников подготовленного землетрясения. На основе использования многомерного вейвлет-анализа временных рядов разработан подход к выделению общих сигналов так называемого всплескового характера, представляющих большой практических интерес в задачах поиска краткосрочных предвестников землетрясений, в сейсморазведке и мониторинге. По анализу микросейсмического шума А.А.Любушину удалось предсказать сильное землетрясение в Японии 11 марта 2011 года. Общие методы, разработанные для анализа систем геофизического мониторинга и поиска предвестников землетрясений, находят активное применение в анализе данных климатического и экологического мониторинга.
     А.А.Любушиным получены новые результаты, касающиеся коллективных эффектов глобального и регионального климатического происхождения в вариациях уровня Каспийского моря по сети береговых наблюдений и во временных рядах расхода воды в реках. Среди других исследований А.А.Любушина следует отметить цикл работ, выполненных в сотрудничестве с коллегами из Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, по применению байесовских статистик к оценке максимальных магнитуд и ускорений сейсмических колебаний.
     В работах Ю.А.Фаркова и его учеников построены и изучены новые вейвлет-базисы и фреймы на основе рядов и преобразований Уолша. Вычислительными экспериментами продемонстрированы преимущества построенных новых систем вейвлетов по сравнению с известными и широко применяемыми базисами вейвлетов Хаара и Добеши. При этом совместно с ортогональными и биортогональными базисами используются базисы из периодических вейвлетов, жесткие фреймы и их дискретные аналоги. Новые конструкции вейвлетов и соответствующие им дискретные преобразования определены на группах Кантора и Виленкина, а также на вещественной полупрямой и в пространствах последовательностей. Из других результатов Ю.А.Фаркова можно отметить найденные им новые методы приближения функций, оптимальные в задачах о поперечниках и энтропии классов аналитических функций в многомерных и многосвязных областях.
     На кафедре работает научно-исследовательский семинар «Вейвлет-анализ и его приложения» (руководители - Ю.А.Фарков и М.Н.Юдин).
     Преподаватели и сотрудники кафедры участвовали в нескольких грантах, поддержанных РФФИ, в том числе российско-китайском гранте по теории приближений (Ю.А.Фарков) и российско-чешском гранте по анализу фоновых геофизических процессов в земной коре (проф.А.А.Любушин), а также в совместных научно-исследовательских программах с Институтом физики Земли РАН, Институтом физики высоких температур РАН, ВНИИГЕОСИСТЕМ, ЗАО «НПЦ ГЕОНЕФТЕГАЗ», ЦГЭ и рядом других организаций.